微分から積分をつくる~応用編~

数学Ⅲ

応用編として、指数関数×三角関数を取り上げる。

ただし応用編と題したが、やり方を知っていれば何ら難しくはないのでご安心を。

初めての方はこちらから↓

【例題】

$$\int e^x{cosx}dx$$

$$(e^x{cosx})’ = -e^xsinx + e^xcosx ・・・①$$

$$(e^x{sinx})’ = e^xsinx + e^xcosx ・・・②$$

この二つの微分をペアとして利用!

(①+②)÷2より、

$$(\frac{1}{2}(e^x{cosx}+e^x{sinx}))’ = e^x{cosx}$$

よって、

$$\int e^x{cosx}dx$$ $$ = \frac{1}{2}(e^x{cosx}+e^x{sinx}) + (積分定数) 』$$

おまけ~一般形~

[二つのペアの一般形]

$$(e^{ax}{cosbx})’ = -be^{ax}sinbx + ae^{ax}cosbx ・・・①$$

$$(e^{ax}{sinbx})’ = ae^{ax}sinbx + be^{ax}cosbx ・・・②$$

(a×①+b×②)÷(a2+b2)より、

$$(\frac{1}{a^2+b^2}(ae^{ax}{cosbx}+be^{ax}{sinbx}))’ = e^{ax}{cosbx}$$

(a×②-b×①)÷(a2+b2)より、

$$(\frac{1}{a^2+b^2}(ae^{ax}{sinbx}-be^{ax}{cosbx}))’ = e^{ax}{sinbx}$$

コメント

タイトルとURLをコピーしました