こちらの記事で扱った積分の練習問題を取り上げています。
練習問題
（１）$$\int x^2{e^{2x}}dx$$
（２）$$\int x{(logx)^2}dx$$
解答＋解説（１）
手順① 指数関数のみ積分
$$x^2(\frac{1}{2}e^{2x})$$
手順② xで微分
$$(\frac{1}{2}{x^2}e^{2x})’ = {x^2}e^{2x} + xe^{2x} ・・・A$$
手順③ 余分な項を消去するため、微分して-xe^(2x)が現れるような関数を探す。
$$(-\frac{1}{2}xe^{2x})’ = -xe^{2x} – \frac{1}{2}e^{2x} ・・・B$$
手順④ 再び余分な項が現れたため、微分して+(1/2)e^(2x)が現れるような関数を探す。
$$(\frac{1}{4}e^{2x})’ = \frac{1}{2}e^{2x}・・・C$$
手順⑤ A、B、Cを足し合わせる。
$$(\frac{1}{2}{x^2}e^{2x} -\frac{1}{2}xe^{2x} + \frac{1}{4}e^{2x})’ = {x^2}e^{2x}$$
よって、$$\int x^2{e^{2x}}dx$$ $$ = \frac{1}{2}{x^2}e^{2x} -\frac{1}{2}xe^{2x} + \frac{1}{4}e^{2x} + (積分定数)』$$
解答＋解説（２）
手順① xのみ積分
$$(\frac{1}{2}x^2){(logx)^2}$$
手順② xで微分
$$(\frac{1}{2}x^2{(logx)^2})’ = x(logx)^2 + xlogx ・・・A$$
手順③ 余分な項を消去するため、微分して-xlogxが現れるような関数を探す。
$$(-\frac{1}{2}x^2{logx})’ = -xlogx – \frac{1}{2}x ・・・B$$
手順④ 再び余分な項が現れたため、微分して+x/2が現れるような関数を探す。
$$(\frac{1}{4}x^2)’ = \frac{1}{2}x・・・C$$
手順⑤ A、B、Cを足し合わせる。
$$(\frac{1}{2}x^2(logx)^2 -\frac{1}{2}x^2{logx} + \frac{1}{4}x^2)’ = x(logx)^2$$
よって、$$\int x{(logx)^2}dx$$ $$ = \frac{1}{2}x^2(logx)^2 -\frac{1}{2}x^2{logx} + \frac{1}{4}x^2 + (積分定数)』$$
コメント