【数Ⅲ】微分から積分をつくる

この記事では、数学Ⅲで登場する部分積分法のちょっと変わった解法を紹介。

意外と知らない人も多いが、結構重宝するのでぜひ身につけていただきたい。

目次

• ｘ^ｋ×（三角関数or指数関数）の積分
• ｘ^ｋ×（対数関数）の積分
• まとめ

ｘ^k ×（三角関数or指数関数）の積分

例題 $$\int x^2sinx dx$$

これを、被積分関数に注目して解いていく。

手順①　三角関数のみ積分

$$x^2(-cosx)$$

手順②　xで微分

$$(-x^2cosx)’ = x^2sinx-2xcosx　・・・A$$

手順③　余分な項を消去するために、微分して+2xsinxが現れるような関数を探す。

この際、三角関数を積分することを意識！

$$(2xsinx)’ = 2xcosx + 2sinx　・・・B$$

手順④　再び余分な項が現れたため、微分して-2sinxが現れるような関数を探す。

$$(2cosx)’ = -2sinx ・・・C$$

手順⑤　A、B、Cを足し合わせる。

$$(-x^2cosx + 2xsinx + 2cosx)’ = x^2sinx$$

よって、$$\int x^2sinx dx$$ $$ = -x^2cosx + 2xsinx + 2cosx + (積分定数)』$$

ポイントは、x^k×(三角関数or指数関数)を積分する際は、手順①で三角関数or指数関数を積分すると、xの指数が減り、うまくいくということだ。練習問題では指数関数verでその感覚を実感していただきたい。

x^k ×（対数関数）の積分

例題　$$\int x^3logx dx$$

これを、被積分関数に注目して解いていく。

手順①　x^３のみ積分

$$(\frac{1}{4}{x^4})logx $$

手順②　xで微分

$$(\frac{1}{4}{x^4}logx)’ = x^3logx + \frac{1}{4}{x^3}　・・・A$$

手順③　余分な項を消去するために、微分して-x³/4が現れるような関数を探す。

$$(-\frac{1}{16}{x^4})’ = -\frac{1}{4}{x^3}　・・・B$$

手順④　A、Bを足し合わせる。

$$(\frac{1}{4}{x^4}logx -\frac{1}{16}{x^4} )’ = x^3logx$$

よって、$$\int x^3logx dx $$ $$= \frac{1}{4}{x^4}logx -\frac{1}{16}{x^4} + (積分定数)』$$

このタイプの積分のポイントは、logxを微分することにより、x^kの次数が下がることだ。練習問題で確認してみるとよい。

まとめ