微分から積分をつくる～応用編～

応用編として、指数関数×三角関数を取り上げる。

ただし応用編と題したが、やり方を知っていれば何ら難しくはないのでご安心を。

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【例題】

$$\int e^x{cosx}dx$$

$$(e^x{cosx})’ = -e^xsinx + e^xcosx ・・・①$$

$$(e^x{sinx})’ = e^xsinx + e^xcosx ・・・②$$

この二つの微分をペアとして利用！

（①＋②）÷２より、

$$(\frac{1}{2}(e^x{cosx}+e^x{sinx}))’ = e^x{cosx}$$

よって、

$$\int e^x{cosx}dx$$ $$ = \frac{1}{2}(e^x{cosx}+e^x{sinx}) + (積分定数)　』$$

［二つのペアの一般形］

$$(e^{ax}{cosbx})’ = -be^{ax}sinbx + ae^{ax}cosbx ・・・①$$

$$(e^{ax}{sinbx})’ = ae^{ax}sinbx + be^{ax}cosbx ・・・②$$

（a×①+b×②）÷（a²+b²）より、

$$(\frac{1}{a^2+b^2}(ae^{ax}{cosbx}+be^{ax}{sinbx}))’ = e^{ax}{cosbx}$$

（a×②-b×①）÷（a²+b²）より、

$$(\frac{1}{a^2+b^2}(ae^{ax}{sinbx}-be^{ax}{cosbx}))’ = e^{ax}{sinbx}$$